دنیای ریاضی به هم ریخت / علامت = لزوما به معنی «مساوی» نیست!

به نظر می رسد که ریاضیدانان نمی توانند در مورد تعریف علامت مساوی (=)، که دو چیز را معادل می کند، توافق داشته باشند. این اختلاف می تواند برای برنامه های کامپیوتری مورد استفاده در بررسی اثبات های ریاضی مشکل ساز باشد.

این نبرد دانشگاهی دهه‌هاست که ادامه دارد، اما شدت آن اخیراً به اوج خود رسیده است. دلیل آن این است که برنامه های رایانه ای که برای اثبات رسمی یا بررسی مدارک استفاده می شوند باید دستورالعمل های واضح و مشخصی داشته باشند و تعاریف مبهم از مفاهیم ریاضی داشته باشند که قابل تفسیر باشد و یا با اتکا به رایانه های پیش زمینه در این زمینه مؤثر نخواهد بود.

کوین بازارد، ریاضیدان بریتانیایی در کالج امپریال لندن، هنگام کار با برنامه نویسان کامپیوتری با این مشکل مواجه شد. این امر باعث شد که او در تعریف «این برابر است» تجدید نظر کند و چندین مفهوم منطقی از برابری را به چالش بکشد.

بازارد در مورد آن نوشت: «شش سال پیش فکر کردم که مفهوم برابری را در ریاضیات می‌دانم و آن را یک اصطلاح کاملاً تعریف شده می‌دانستم. وقتی تلاش‌هایم را شروع کردم، ریاضیات سطح بالا را روی رایانه‌ای اعمال کردم که اثبات‌کننده‌های قضیه را انجام می‌داد. سپس متوجه شدم که مفهوم برابری در ریاضیات بسیار پیچیده‌تر از چیزی است که تا به حال می‌دانستم.»

تاریخچه مفهوم برابری در ریاضیات

در سال 1557، رابرت رکورد، ریاضیدان ولزی، علامت مساوی (=) را با دو خط موازی به جهان معرفی کرد که به زیبایی برابری بین اجسام در دو طرف علامت را نشان می دهد.

در ابتدا این مفهوم مورد توجه قرار نگرفت، اما با گذشت زمان، نماد شهودی آقای رکورد جایگزین عبارت لاتین “aequalis” شد و بعدها پایه و اساس علم کامپیوتر را پایه گذاری کرد. 400 سال پس از معرفی آن توسط رابرت رکورد در سال 1957، علامت برابر برای اولین بار به عنوان بخشی از زبان برنامه نویسی کامپیوتر FORTRAN I استفاده شد.

مفهوم برابری در دنیای ریاضیات سابقه بسیار طولانی تری دارد که حداقل به یونان باستان باز می گردد. بازارد گفت که ریاضیدانان مدرن در واقع از اصطلاح “نسبتا آزاد” برای مفهوم برابری استفاده می کنند.

در استفاده روزمره و برای ما آشنا، علامت تساوی در واقع تنظیم کننده معادلاتی است که در ریاضیات دارای ارزش یا معنی یکسانی هستند. یعنی چیزی که با چند تغییر و دگرگونی منطقی از یک طرف به طرف دیگر قابل رفع است; به عنوان مثال، عدد صحیح 2 مجموع یک جفت اعداد (1 + 1) را توصیف می کند.

اما تعریف دوم از مفهوم «برابری» از اواخر قرن نوزدهم و با ظهور نظریه مجموعه ها در بین ریاضیدانان به کار رفت. در این زمان نظریه مجموعه ها توسعه یافت و بنابراین تعریف ریاضیدانان از مفهوم برابری نیز گسترش یافت.

ایزومورفیسم متعارف در ریاضیات

مجموعه ای مانند {1، 2، 3} را می توان “برابر” با مجموعه ای مانند {a, b, c} در نظر گرفت. دلیل آن وجود درک ضمنی به نام ایزومورفیسم متعارف است که شباهت های بین ساختار گروه ها را مقایسه می کند.

بازارد گفت: «این مجموعه ها به طور طبیعی با هم هماهنگ می شوند. ریاضیدانان متوجه شدند که اگر آنها را برابر بدانیم، واقعاً آسان خواهد بود.

اکنون، با توجه به ایزومورفیسم مرسوم به معنای برابری، ریاضیدانانی که برای چندین دهه سعی در استفاده از رایانه برای ارائه رسمی اثبات مفاهیم اساسی داشته اند، با مشکلات جدی مواجه شده اند.

بازارد با اشاره به تلاش‌های الکساندر گروتندیک، ریاضیدان قرن بیستم برای توصیف برابری در نظریه مجموعه‌ها، گفت: «هیچ یک از سیستم‌های رایانه‌ای موجود، استفاده ریاضی گروتندیک از نماد برابری را درک نمی‌کنند.

برخی از ریاضیدانان اکنون بر این باورند که مفاهیم ریاضی باید دوباره تعریف شوند تا به طور رسمی هم شکلی متعارف را برابر با مفهوم “برابر” در نظر بگیرند. اما بازارد موافق نیست و معتقد است که اختلاف بین ریاضیدانان و ماشین‌ها باید ریاضیدانان را وادار کند که دقیقاً منظورشان از مفاهیم اساسی ریاضی مانند “برابری” به گونه‌ای که رایانه‌ها بتوانند آن را درک کنند، تجدید نظر کنند.

او می‌گوید: «وقتی کسی مجبور می‌شود منظور واقعی خود را بنویسد و نمی‌تواند پشت کلمات نامشخص پنهان شود، متوجه می‌شود که باید کارهای بیشتری انجام دهد یا حتی در نحوه ارائه ایده‌های خاص تجدید نظر کند.

منبع: سرگرمی روز